1. Вычислите: i^3 + i^13 + i^23 + i^33 + i^43 + i^53

Решение:

Для вычисления степеней комплексной единицы \( i \) будем использовать тот факт, что \( i^2 = -1 \) и \( i^4 = 1 \). Степень \( i \) повторяется с периодом 4. Делим показатель степени на 4 и смотрим на остаток:

1. \( i^3 = i^{2+1} = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = -i \)
2. \( i^{13} = i^{12+1} = (i^4)^3 \cdot i = 1^3 \cdot i = i \)
3. \( i^{23} = i^{20+3} = (i^4)^5 \cdot i^3 = 1^5 \cdot (-i) = -i \)
4. \( i^{33} = i^{32+1} = (i^4)^8 \cdot i = 1^8 \cdot i = i \)
5. \( i^{43} = i^{40+3} = (i^4)^{10} \cdot i^3 = 1^{10} \cdot (-i) = -i \)
6. \( i^{53} = i^{52+1} = (i^4)^{13} \cdot i = 1^{13} \cdot i = i \)

Теперь сложим полученные значения:

\( -i + i - i + i - i + i = 0 \)

Ответ: 0