6. Записать число 6 - 6i в тригонометрической форме:

Решение:

Для записи комплексного числа \( z = x + yi \) в тригонометрической форме \( z = r(\cos{\phi} + i\sin{\phi}) \) нужно найти модуль \( r \) и аргумент \( \phi \).

Для числа \( z = 6 - 6i \):

1. Найдем модуль \( r \): \( r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{6^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2} \)
2. Найдем аргумент \( \phi \). Для этого вычислим \( \cos{\phi} = \frac{x}{r} \) и \( \sin{\phi} = \frac{y}{r} \):
3. \( \cos{\phi} = \frac{6}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
4. \( \sin{\phi} = \frac{-6}{6\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)
5. По знакам косинуса (положительный) и синуса (отрицательный) определяем, что угол \( \phi \) находится в IV четверти. Значение \( \phi \), удовлетворяющее этим условиям, равно \( -\frac{\pi}{4} \) (или \( \frac{7\pi}{4} \)).

Запишем число в тригонометрической форме:

\( z = 6\sqrt{2} \left(\cos{\left(-\frac{\pi}{4}\right)} + i\sin{\left(-\frac{\pi}{4}\right)}\right) \)

или

\( z = 6\sqrt{2} \left(\cos{\frac{7\pi}{4}} + i\sin{\frac{7\pi}{4}}\right) \)

Ответ: \( 6\sqrt{2} \left(\cos{\frac{7\pi}{4}} + i\sin{\frac{7\pi}{4}}\right) \)