8. Найдите произведение и частное комплексных чисел z₁ и z₂, если z₁ = 3(cos \( \frac{\pi}{4} \) + i sin \( \frac{\pi}{4} \)), z₂ = 4(cos \( \frac{3\pi}{4} \) + i sin \( \frac{3\pi}{4} \))

Решение:

Даны комплексные числа в тригонометрической форме:

\( z_1 = 3 \left(\cos{\frac{\pi}{4}} + i\sin{\frac{\pi}{4}}\right) \)

\( z_2 = 4 \left(\cos{\frac{3\pi}{4}} + i\sin{\frac{3\pi}{4}}\right) \)

Произведение \( z_1 \cdot z_2 \):

Для перемножения комплексных чисел в тригонометрической форме нужно перемножить их модули и сложить аргументы:

\( r_{1 \cdot 2} = r_1 \cdot r_2 = 3 \cdot 4 = 12 \)

\( \phi_{1 \cdot 2} = \phi_1 + \phi_2 = \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} = \pi \)

\( z_1 \cdot z_2 = 12 \left(\cos{\pi} + i\sin{\pi}\right) \)

Частное \( \frac{z_1}{z_2} \):

Для деления комплексных чисел в тригонометрической форме нужно разделить их модули и вычесть аргументы:

\( r_{\frac{1}{2}} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{4} \)

\( \phi_{\frac{1}{2}} = \phi_1 - \phi_2 = \frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} = -\frac{2\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} \)

\( \frac{z_1}{z_2} = \frac{3}{4} \left(\cos{\left(-\frac{\pi}{2}\right)} + i\sin{\left(-\frac{\pi}{2}\right)}\right) \)

Ответ: Произведение: \( 12 \left(\cos{\pi} + i\sin{\pi}\right) \). Частное: \( \frac{3}{4} \left(\cos{\left(-\frac{\pi}{2}\right)} + i\sin{\left(-\frac{\pi}{2}\right)}\right) \)