8. Найдите произведение и частное комплексных чисел z₁ и z₂, если z₁ = 5(cos \( \frac{\pi}{6} \) + i sin \( \frac{\pi}{6} \)), z₂ = 2(cos \( \frac{2\pi}{3} \) + i sin \( \frac{2\pi}{3} \))

Решение:

Даны комплексные числа в тригонометрической форме:

\( z_1 = 5 \left(\cos{\frac{\pi}{6}} + i\sin{\frac{\pi}{6}}\right) \)

\( z_2 = 2 \left(\cos{\frac{2\pi}{3}} + i\sin{\frac{2\pi}{3}}\right) \)

Произведение \( z_1 \cdot z_2 \):

Для перемножения комплексных чисел в тригонометрической форме нужно перемножить их модули и сложить аргументы:

\( r_{1 \cdot 2} = r_1 \cdot r_2 = 5 \cdot 2 = 10 \)

\( \phi_{1 \cdot 2} = \phi_1 + \phi_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \)

\( z_1 \cdot z_2 = 10 \left(\cos{\frac{5\pi}{6}} + i\sin{\frac{5\pi}{6}}\right) \)

Частное \( \frac{z_1}{z_2} \):

Для деления комплексных чисел в тригонометрической форме нужно разделить их модули и вычесть аргументы:

\( r_{\frac{1}{2}} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{5}{2} \)

\( \phi_{\frac{1}{2}} = \phi_1 - \phi_2 = \frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{6} - \frac{4\pi}{6} = -\frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{2} \)

\( \frac{z_1}{z_2} = \frac{5}{2} \left(\cos{\left(-\frac{\pi}{2}\right)} + i\sin{\left(-\frac{\pi}{2}\right)}\right) \)

Ответ: Произведение: \( 10 \left(\cos{\frac{5\pi}{6}} + i\sin{\frac{5\pi}{6}}\right) \). Частное: \( \frac{5}{2} \left(\cos{\left(-\frac{\pi}{2}\right)} + i\sin{\left(-\frac{\pi}{2}\right)}\right) \)