6. Записать число 2√3 - 3i в тригонометрической форме:

Решение:

Для записи комплексного числа \( z = x + yi \) в тригонометрической форме \( z = r(\cos{\phi} + i\sin{\phi}) \) нужно найти модуль \( r \) и аргумент \( \phi \).

Для числа \( z = 2\sqrt{3} - 3i \):

1. Найдем модуль \( r \): \( r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (-3)^2} = \sqrt{(4 \cdot 3) + 9} = \sqrt{12 + 9} = \sqrt{21} \)
2. Найдем аргумент \( \phi \). Для этого вычислим \( \cos{\phi} = \frac{x}{r} \) и \( \sin{\phi} = \frac{y}{r} \):
3. \( \cos{\phi} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{21}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{7}}{7} \)
4. \( \sin{\phi} = \frac{-3}{\sqrt{21}} = \frac{-3}{\sqrt{3}\sqrt{7}} = \frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = -\frac{\sqrt{21}}{7} \)
5. Угол \( \phi \) находится в IV четверти, так как \( \cos{\phi} > 0 \) и \( \sin{\phi} < 0 \). Значение аргумента \( \phi \) не является стандартным углом, поэтому оставим его в виде \( \arctan \) или \( \arcsin \)/\( \arccos \).

Запишем число в тригонометрической форме:

\( z = \sqrt{21} \left(\cos{\phi} + i\sin{\phi}\right) \), где \( \phi = \arctan\left(\frac{-3}{2\sqrt{3}}\right) = \arctan\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \)

Ответ: \( \sqrt{21} \left(\cos{\left(-\arctan{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)} + i\sin{\left(-\arctan{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)}\right) \)