10. Решите уравнение \(9^{8-x} = 64^x\).

Решение:

• Это уравнение не является показательным в стандартном виде, так как основания разные и не сводятся к одному. Запишем основания как степени числа 3 и 2: \((3^2)^{8-x} = (2^6)^x\)
• Упростим: \(3^{16-2x} = 2^{6x}\)
• Чтобы решить такое уравнение, нужно взять логарифм от обеих частей. Возьмем натуральный логарифм (ln):
• \(\ln(3^{16-2x}) = \text{ln}(2^{6x})\)
• Используем свойство логарифма \(\text{ln}(a^b) = b \text{ln}(a)\):
• \((16-2x)\text{ln}(3) = 6x \text{ln}(2)\)
• Раскроем скобки: \(16\text{ln}(3) - 2x\text{ln}(3) = 6x\text{ln}(2)\)
• Перенесем члены с x в одну сторону: \(16\text{ln}(3) = 6x\text{ln}(2) + 2x\text{ln}(3)\)
• Вынесем x за скобки: \(16\text{ln}(3) = x(6\text{ln}(2) + 2\text{ln}(3))\)
• Найдем x: \(x = \frac{16\text{ln}(3)}{6\text{ln}(2) + 2\text{ln}(3)}\)
• Можно упростить, разделив числитель и знаменатель на 2: \(x = \frac{8\text{ln}(3)}{3\text{ln}(2) + \text{ln}(3)}\)
• Используя свойства логарифмов \(b \text{ln}(a) = \text{ln}(a^b)\) и \(\text{ln}(a) + \text{ln}(b) = \text{ln}(ab)\), можно преобразовать знаменатель: \(3\text{ln}(2) + \text{ln}(3) = \text{ln}(2^3) + \text{ln}(3) = \text{ln}(8) + \text{ln}(3) = \text{ln}(8 \times 3) = \text{ln}(24)\)
• Тогда: \(x = \frac{\text{ln}(3^8)}{\text{ln}(24)} = \frac{\text{ln}(6561)}{\text{ln}(24)}\)

Ответ: \(x = \frac{16\text{ln}(3)}{6\text{ln}(2) + 2\text{ln}(3)}\)