15. Найдите корень уравнения \(\left(\frac{1}{25}\right)^{x+2} = 5^{x-5}\).

Решение:

• Представим обе части уравнения в виде степени с основанием 5. \(\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}\).
• Подставим в уравнение: \((5^{-2})^{x+2} = 5^{x-5}\)
• Упростим левую часть: \(5^{-2(x+2)} = 5^{x-5}\)
• \(5^{-2x-4} = 5^{x-5}\)
• Приравняем показатели степеней: \(-2x - 4 = x - 5\)
• Решим полученное линейное уравнение: \(-4 + 5 = x + 2x\)
• \(1 = 3x\)
• \(x = \frac{1}{3}\)

Ответ: \(\frac{1}{3}\)