12) cos β / (1 - sin β) + cos β / (1 + sin β);

Привет! Давай упростим это выражение.

Чтобы сложить дроби, нам нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет произведением знаменателей: \[ (1 - \sin \beta)(1 + \sin \beta) \]

Это разность квадратов, которая равна \[ 1 - \sin^2 \beta \]

, а это, в свою очередь, равно \[ \cos^2 \beta \]

.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю:

\[ \frac{\cos \beta (1 + \sin \beta)}{(1 - \sin \beta)(1 + \sin \beta)} + \frac{\cos \beta (1 - \sin \beta)}{(1 + \sin \beta)(1 - \sin \beta)} \]

\[ = \frac{\cos \beta + \cos \beta \sin \beta + \cos \beta - \cos \beta \sin \beta}{1 - \sin^2 \beta} \]

В числителе \[ \cos \beta \sin \beta \]

и \[ -\cos \beta \sin \beta \]

сокращаются:

\[ = \frac{2 \cos \beta}{\cos^2 \beta} \]

Сокращаем \[ \cos \beta \]

:

\[ = \frac{2}{\cos \beta} \]

Ответ: $$\frac{2}{\cos \beta}$$