15) \(\sqrt{(1 - cos α) / (1 + cos α)}\) + \(\sqrt{(1 + cos α) / (1 - cos α)}\);

Привет! Давай упростим это выражение.

Для начала, чтобы избавиться от корня в знаменателе, домножим числитель и знаменатель под каждым корнем на сопряженное выражение.

Первый корень:

\[ \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}} = \sqrt{\frac{(1 - \cos \alpha)(1 - \cos \alpha)}{(1 + \cos \alpha)(1 - \cos \alpha)}} = \sqrt{\frac{(1 - \cos \alpha)^2}{1 - \cos^2 \alpha}} = \sqrt{\frac{(1 - \cos \alpha)^2}{\sin^2 \alpha}} \]

С учетом того, что \[ 1 - \cos \alpha \ge 0 \]

и \[ \sin \alpha \]

может быть как положительным, так и отрицательным (но в знаменателе \[ \sin^2 \alpha \ge 0 \]

, а \[ 1 + \cos \alpha \ne 0 \]), для упрощения мы можем взять модуль, но чаще всего в таких задачах предполагается, что \[ \sin \alpha > 0 \]

, тогда: \[ \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} \]

Второй корень:

\[ \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{1 - \cos \alpha}} = \sqrt{\frac{(1 + \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)}{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)}} = \sqrt{\frac{(1 + \cos \alpha)^2}{1 - \cos^2 \alpha}} = \sqrt{\frac{(1 + \cos \alpha)^2}{\sin^2 \alpha}} \]

Аналогично: \[ \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} \]

Теперь сложим полученные выражения:

\[ \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1 - \cos \alpha + 1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} \]

\[ = \frac{2}{\sin \alpha} \]

Ответ: $$\frac{2}{\sin \alpha}$$