7) cos⁴ α - sin⁴ α;

Привет! Давай упростим это выражение.

Это выражение можно представить как разность квадратов:

\[ \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = (\cos^2 \alpha)^2 - (\sin^2 \alpha)^2 \]

Применяем формулу разности квадратов \[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]

, где \[ a = \cos^2 \alpha \]

и \[ b = \sin^2 \alpha \]

:

\[ (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) \]

Мы знаем, что \[ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \]

А также, что \[ \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos(2\alpha) \]

Тогда выражение упрощается до: \[ \cos(2\alpha) \cdot 1 = \cos(2\alpha) \]

Ответ: $$\cos(2\alpha)$$