13) sin β / (1 + cos β) + ctg β;

Привет! Давай упростим это выражение.

Сначала преобразуем \[ \text{ctg } \beta = \frac{\cos \beta}{\sin \beta} \]

. Теперь запишем все выражение:

\[ \frac{\sin \beta}{1 + \cos \beta} + \frac{\cos \beta}{\sin \beta} \]

Приведем дроби к общему знаменателю \[ \sin \beta (1 + \cos \beta) \]

:

\[ \frac{\sin \beta \cdot \sin \beta + \cos \beta (1 + \cos \beta)}{\sin \beta (1 + \cos \beta)} \]

\[ = \frac{\sin^2 \beta + \cos \beta + \cos^2 \beta}{\sin \beta (1 + \cos \beta)} \]

Используем основное тригонометрическое тождество \[ \sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1 \]

:

\[ = \frac{1 + \cos \beta}{\sin \beta (1 + \cos \beta)} \]

Сокращаем \[ (1 + \cos \beta) \]

:

\[ = \frac{1}{\sin \beta} \]

Ответ: $$\frac{1}{\sin \beta}$$