9) (tg² β - sin² β) / (ctg² β - cos² β);

Привет! Давай упростим это тригонометрическое выражение.

Сначала преобразуем числитель и знаменатель отдельно.

Числитель: \[ \text{tg}^2 \beta - \sin^2 \beta = \frac{\sin^2 \beta}{\cos^2 \beta} - \sin^2 \beta \]

Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{\sin^2 \beta - \sin^2 \beta \cos^2 \beta}{\cos^2 \beta} = \frac{\sin^2 \beta (1 - \cos^2 \beta)}{\cos^2 \beta} \]

Используем основное тригонометрическое тождество \[ 1 - \cos^2 \beta = \sin^2 \beta \]

: \[ \frac{\sin^2 \beta \cdot \sin^2 \beta}{\cos^2 \beta} = \frac{\sin^4 \beta}{\cos^2 \beta} \]

Знаменатель: \[ \text{ctg}^2 \beta - \cos^2 \beta = \frac{\cos^2 \beta}{\sin^2 \beta} - \cos^2 \beta \]

Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{\cos^2 \beta - \cos^2 \beta \sin^2 \beta}{\sin^2 \beta} = \frac{\cos^2 \beta (1 - \sin^2 \beta)}{\sin^2 \beta} \]

Используем основное тригонометрическое тождество \[ 1 - \sin^2 \beta = \cos^2 \beta \]

: \[ \frac{\cos^2 \beta \cdot \cos^2 \beta}{\sin^2 \beta} = \frac{\cos^4 \beta}{\sin^2 \beta} \]

Теперь поделим числитель на знаменатель: \[ \frac{\text{Числитель}}{\text{Знаменатель}} = \frac{\frac{\sin^4 \beta}{\cos^2 \beta}}{\frac{\cos^4 \beta}{\sin^2 \beta}} = \frac{\sin^4 \beta}{\cos^2 \beta} \cdot \frac{\sin^2 \beta}{\cos^4 \beta} \]

\[ = \frac{\sin^6 \beta}{\cos^6 \beta} = \text{tg}^6 \beta \]

Ответ: $$\text{tg}^6 \beta$$