16) \(\sqrt{(1 + sin α) / (1 - sin α)}\) + \(\sqrt{(1 - sin α) / (1 + sin α)}\);

Привет! Давай упростим это выражение.

Для начала, чтобы избавиться от корня в знаменателе, домножим числитель и знаменатель под каждым корнем на сопряженное выражение.

Первый корень:

\[ \sqrt{\frac{1 + \sin \alpha}{1 - \sin \alpha}} = \sqrt{\frac{(1 + \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)}{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)}} = \sqrt{\frac{(1 + \sin \alpha)^2}{1 - \sin^2 \alpha}} = \sqrt{\frac{(1 + \sin \alpha)^2}{\cos^2 \alpha}} \]

С учетом того, что \[ 1 + \sin \alpha \ge 0 \]

и \[ \cos \alpha \]

может быть как положительным, так и отрицательным (но в знаменателе \[ \cos^2 \alpha \ge 0 \]

, а \[ 1 - \sin \alpha \ne 0 \]), для упрощения мы можем взять модуль, но чаще всего в таких задачах предполагается, что \[ \cos \alpha > 0 \]

, тогда: \[ \frac{1 + \sin \alpha}{\cos \alpha} \]

Второй корень:

\[ \sqrt{\frac{1 - \sin \alpha}{1 + \sin \alpha}} = \sqrt{\frac{(1 - \sin \alpha)(1 - \sin \alpha)}{(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha)}} = \sqrt{\frac{(1 - \sin \alpha)^2}{1 - \sin^2 \alpha}} = \sqrt{\frac{(1 - \sin \alpha)^2}{\cos^2 \alpha}} \]

Аналогично: \[ \frac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha} \]

Теперь сложим полученные выражения:

\[ \frac{1 + \sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1 + \sin \alpha + 1 - \sin \alpha}{\cos \alpha} \]

\[ = \frac{2}{\cos \alpha} \]

Ответ: $$\frac{2}{\cos \alpha}$$