12. Высота ромба, проведённая из вершины его тупого угла, делит сторону ромба пополам. Меньшая диагональ ромба равна 4 см. Найдите углы и периметр ромба.

Пусть сторона ромба равна \(a\), а острый угол — \(\alpha\). Высота из тупого угла делит противоположную сторону пополам, поэтому в прямоугольном треугольнике \(\cos\alpha=\frac12\), откуда \(\alpha=60^\circ\). Тупой угол равен \(120^\circ\).

Меньшая диагональ ромба при угле \(60^\circ\): \(d=a\). Так как \(d=4\) см, то \(a=4\) см.

Периметр: \(P=4a=16\) см.

Ответ: углы \(60^\circ\) и \(120^\circ\); периметр 16 см.