14. Решите систему уравнений \(\begin{cases} (x+6y)^2 = 7y \\ (x+6y)^2 = 7x \end{cases}\)

Решение:

Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны:

\( 7y = 7x \)

\( y = x \)

Подставим \( y = x \) в первое уравнение:

\( (x+6x)^2 = 7x \)

\( (7x)^2 = 7x \)

\( 49x^2 = 7x \)

\( 49x^2 - 7x = 0 \)

\( 7x(7x - 1) = 0 \)

Отсюда получаем два случая:

1) \( 7x = 0 \implies x = 0 \). Так как \( y = x \), то \( y = 0 \).

2) \( 7x - 1 = 0 \implies 7x = 1 \implies x = \frac{1}{7} \). Так как \( y = x \), то \( y = \frac{1}{7} \).

Получаем две пары решений.

Ответ: \( (0; 0) \), \( (\frac{1}{7}; \frac{1}{7}) \).