24. Сократите дробь \(\frac{4 · 36^n}{3^{2n-3} · 2^{2n+2}}\,\)

Решение:

Представим все числа в виде степеней простых множителей:

\( 4 = 2^2 \)

\( 36 = 6^2 = (2 · 3)^2 = 2^2 · 3^2 \)

Подставим это в дробь:

\( \frac{2^2 · (2^2 · 3^2)^n}{3^{2n-3} · 2^{2n+2}} \)

\( \frac{2^2 · 2^{2n} · 3^{2n}}{3^{2n-3} · 2^{2n+2}} \)

Сложим степени с одинаковыми основаниями в числителе:

\( \frac{2^{2+2n} · 3^{2n}}{3^{2n-3} · 2^{2n+2}} \)

Применим правило деления степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):

\( 2^{(2+2n) - (2n+2)} · 3^{2n - (2n-3)} \)

\( 2^{2+2n-2n-2} · 3^{2n-2n+3} \)

\( 2^0 · 3^3 \)

\( 1 · 27 \)

\( 27 \)

Ответ: 27.