20. Решите неравенство \( (3x-7)^2 \ge (7x-3)^2 \)

Решение:

Перенесем все члены в одну сторону:

\( (3x-7)^2 - (7x-3)^2 \ge 0 \)

Воспользуемся формулой разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \):

\( ((3x-7) - (7x-3))((3x-7) + (7x-3)) \ge 0 \)

\( (3x-7-7x+3)(3x-7+7x-3) \ge 0 \)

\( (-4x-4)(10x-10) \ge 0 \)

Вынесем общие множители:

\( -4(x+1) · 10(x-1) \ge 0 \)

\( -40(x+1)(x-1) \ge 0 \)

Разделим обе части на -40 и сменим знак неравенства:

\( (x+1)(x-1) \le 0 \)

Корни уравнения \( (x+1)(x-1) = 0 \) равны \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = 1 \).

Парабола \( y = (x+1)(x-1) \) ветвями вверх, поэтому \( (x+1)(x-1) \le 0 \) между корнями, включая корни.

Ответ: \( [-1; 1] \).