19. Решите неравенство \( (x-4)^2 < \sqrt{3}(x-4) \)

Решение:

Перенесем все члены в одну сторону:

\( (x-4)^2 - \sqrt{3}(x-4) < 0 \)

Вынесем общий множитель \( (x-4) \):

\( (x-4)((x-4) - \sqrt{3}) < 0 \)

\( (x-4)(x - 4 - \sqrt{3}) < 0 \)

Найдем корни уравнения \( (x-4)(x - 4 - \sqrt{3}) = 0 \):

\( x_1 = 4 \)

\( x_2 = 4 + \sqrt{3} \)

Получим интервалы: \( (-\infty; 4) \), \( (4; 4+\sqrt{3}) \), \( (4+\sqrt{3}; +\infty) \).

Проверим знаки выражения в каждом интервале:

При \( x < 4 \) (например, \( x=0 \)): \( (0-4)(0-4-\sqrt{3}) = (-4)(-4-\sqrt{3}) = + \)

При \( 4 < x < 4+\sqrt{3} \) (например, \( x=4.5 \)): \( (4.5-4)(4.5-4-\sqrt{3}) = (0.5)(0.5-\sqrt{3}) = - \)

При \( x > 4+\sqrt{3} \) (например, \( x=6 \)): \( (6-4)(6-4-\sqrt{3}) = (2)(2-\sqrt{3}) = + \)

Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля.

Ответ: \( (4; 4 + \sqrt{3}) \).