17. Решите неравенство \(\frac{-12}{x^2-7x-8} \le 0\)

Решение:

Чтобы дробь была меньше или равна нулю, числитель и знаменатель должны иметь разные знаки, или числитель равен нулю. Числитель -12 отрицательный, значит, знаменатель должен быть положительным.

\( x^2 - 7x - 8 > 0 \)

Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 - 7x - 8 = 0 \):

Дискриминант \( D = (-7)^2 - 4(1)(-8) = 49 + 32 = 81 \).

\( x_1 = \frac{7 + \sqrt{81}}{2} = \frac{7+9}{2} = 8 \)

\( x_2 = \frac{7 - \sqrt{81}}{2} = \frac{7-9}{2} = -1 \)

Парабола \( y = x^2 - 7x - 8 \) ветвями вверх, поэтому \( x^2 - 7x - 8 > 0 \) при \( x < -1 \) или \( x > 8 \).

Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому \( x
e -1 \) и \( x
e 8 \).

Ответ: \( (-\infty; -1) \cup (8; +\infty) \).