15. Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе в равнобедренном треугольнике

Решение:

Теорема о биссектрисе в равнобедренном треугольнике: Биссектриса, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является также медианой и высотой.

Доказательство:

1. Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. Проведём биссектрису BD к основанию AC.
2. Так как BD — биссектриса, то ∠ABD = ∠CBD.
3. Рассмотрим треугольники ABD и CBD.
• AB = BC (по условию, т.к. треугольник равнобедренный).
• ∠ABD = ∠CBD (по условию, т.к. BD — биссектриса).
• BD — общая сторона.
4. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), △ABD = △CBD.
5. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов и сторон:
• ∠BAD = ∠BCD (углы при основании равны, что подтверждает свойство равнобедренного треугольника).
• ∠BDA = ∠BDC. Так как эти углы смежные и их сумма равна 180°, то каждый из них равен 90° (∠BDA = ∠BDC = 180°/2 = 90°). Следовательно, BD ⊥ AC, то есть BD — высота.
• AD = DC. Это означает, что точка D — середина стороны AC, следовательно, BD — медиана.

Ответ: Биссектриса, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является также медианой и высотой.