17. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке K, BK = 7, DK = 14, BC = 10. Найдите AD.

Задание 17. Пересекающиеся хорды вписанного четырехугольника

Дано:

• Четырехугольник ABCD вписан в окружность.
• Прямые AB и CD пересекаются в точке K.
• \( BK = 7 \)
• \( DK = 14 \)
• \( BC = 10 \)

Найти: \( AD \).

Решение:

1. Рассмотрим треугольники \( △ KBC \) и \( △ KDA \).
2. Так как четырехугольник ABCD вписан в окружность, то угол \( ∠ KCB = ∠ KAD \) (как внешние углы, опирающиеся на дугу BD).
3. Угол \( ∠ BKC = ∠ DKA \) (как вертикальные).
4. Следовательно, \( △ KBC ∼ △ KDA \) по двум углам.
5. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: \[ \frac{KB}{KD} = \frac{KC}{KA} = \frac{BC}{DA} \]
6. Нам известны \( KB \), \( DK \) и \( BC \). Нам нужно найти \( DA \).
7. Из пропорции \( \frac{KB}{KD} = \frac{BC}{DA} \) получаем: \[ \frac{7}{14} = \frac{10}{DA} \]
8. Упростим: \[ \frac{1}{2} = \frac{10}{DA} \]
9. Отсюда, \( DA = 2 · 10 = 20 \).

Ответ: 20