18. В треугольнике АВС известно, что АС = 8, BC = 15, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Задание 18. Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника

Дано:

• Треугольник ABC.
• \( AC = 8 \)
• \( BC = 15 \)
• \( ∠ C = 90^\circ \)

Найти: радиус описанной окружности \( R \).

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.
2. Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной окружности.
3. Найдем гипотенузу AB по теореме Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
4. \( AB^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 \)
5. \( AB = √{289} = 17 \)
6. Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы: \[ R = \frac{AB}{2} \]
7. \( R = \frac{17}{2} = 8.5 \)

Ответ: 8.5