19. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 70°, угол CAD равен 49°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Задание 19. Углы вписанного четырехугольника

Дано:

• Четырехугольник ABCD вписан в окружность.
• \( ∠ ABC = 70^\circ \)
• \( ∠ CAD = 49^\circ \)

Найти: \( ∠ ABD \) в градусах.

Решение:

1. Противоположные углы вписанного четырехугольника в сумме дают 180°.
2. \( ∠ ADC = 180^\circ - ∠ ABC = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \).
3. Угол \( ∠ ADC = ∠ ADB + ∠ BDC \).
4. Углы \( ∠ ADB \) и \( ∠ ACB \) опираются на одну дугу AB, значит, \( ∠ ADB = ∠ ACB \).
5. Углы \( ∠ CAD \) и \( ∠ CBD \) опираются на одну дугу CD, значит, \( ∠ CBD = ∠ CAD = 49^\circ \).
6. Угол \( ∠ ABC = ∠ ABD + ∠ CBD \).
7. \( 70^\circ = ∠ ABD + 49^\circ \)
8. \( ∠ ABD = 70^\circ - 49^\circ = 21^\circ \).

Ответ: 21