24. Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 20,5. Найдите ВС, если АС=9.

Задание 24. Стороны прямоугольного треугольника

Дано:

• Центр окружности O лежит на стороне AB треугольника ABC.
• Радиус описанной окружности \( R = 20.5 \)
• \( AC = 9 \)

Найти: \( BC \).

Решение:

1. Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то эта сторона является диаметром окружности.
2. Значит, AB — диаметр, и треугольник ABC — прямоугольный с прямым углом C: \( ∠ ACB = 90^\circ \).
3. Диаметр равен удвоенному радиусу: \( AB = 2R = 2 · 20.5 = 41 \).
4. Теперь у нас есть прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой \( AB = 41 \) и катетом \( AC = 9 \).
5. Найдем катет BC по теореме Пифагора: \[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]
6. \( 9^2 + BC^2 = 41^2 \)
7. \( 81 + BC^2 = 1681 \)
8. \( BC^2 = 1681 - 81 = 1600 \)
9. \( BC = √{1600} = 40 \)

Ответ: 40