23. Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 14,5. Найдите АС, если ВС=21.

Задание 23. Стороны прямоугольного треугольника

Дано:

• Центр окружности O лежит на стороне AB треугольника ABC.
• Радиус описанной окружности \( R = 14.5 \)
• \( BC = 21 \)

Найти: \( AC \).

Решение:

1. Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то эта сторона является диаметром окружности.
2. Значит, AB — диаметр, и треугольник ABC — прямоугольный с прямым углом C: \( ∠ ACB = 90^\circ \).
3. Диаметр равен удвоенному радиусу: \( AB = 2R = 2 · 14.5 = 29 \).
4. Теперь у нас есть прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой \( AB = 29 \) и катетом \( BC = 21 \).
5. Найдем катет AC по теореме Пифагора: \[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]
6. \( AC^2 + 21^2 = 29^2 \)
7. \( AC^2 + 441 = 841 \)
8. \( AC^2 = 841 - 441 = 400 \)
9. \( AC = √{400} = 20 \)

Ответ: 20