299. а) В треугольнике ABC угол В - прямой. Найдите АС, если cos A = 5/13, BC = 5.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC (угол B = 90°):

По определению косинуса угла: \( \cos A = \frac{AB}{AC} \).

По определению синуса угла: \( \sin A = \frac{BC}{AC} \).

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \).

Найдём \( \sin A \): \( \sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169} \).

Так как A — угол треугольника, \( \sin A > 0 \). Следовательно, \( \sin A = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13} \).

Теперь найдём AC, используя \( \sin A = \frac{BC}{AC} \): \( \frac{12}{13} = \frac{5}{AC} \).

Выразим AC: \( AC = \frac{5 \cdot 13}{12} = \frac{65}{12} \).

Ответ: AC = 65/12.