301. б) В треугольнике АВС угол В - прямой. Найдите ВС, если tg C = \(\sqrt{7}/5\), AC = 12.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC (угол B = 90°):

По определению тангенса угла C: \( \operatorname{tg} C = \frac{AB}{BC} \).

По определению синуса угла C: \( \sin C = \frac{AB}{AC} \).

По определению косинуса угла C: \( \cos C = \frac{BC}{AC} \).

Найдём \( \cos C \) из \( \operatorname{tg} C \). Известно, что \( 1 + \operatorname{tg}^2 C = \frac{1}{\cos^2 C} \).

\( 1 + (\frac{\sqrt{7}}{5})^2 = 1 + \frac{7}{25} = \frac{25 + 7}{25} = \frac{32}{25} \).

\( \frac{1}{\cos^2 C} = \frac{32}{25} \).

\( \cos^2 C = \frac{25}{32} \).

Так как C — острый угол, \( \cos C = \sqrt{\frac{25}{32}} = \frac{5}{\sqrt{32}} = \frac{5}{4\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{8} \).

Теперь найдём BC, используя \( \cos C = \frac{BC}{AC} \): \( \frac{5\sqrt{2}}{8} = \frac{BC}{12} \).

\( BC = \frac{12 \cdot 5\sqrt{2}}{8} = \frac{3 \cdot 5\sqrt{2}}{2} = \frac{15\sqrt{2}}{2} \).

Ответ: BC = \(\frac{15\sqrt{2}}{2}\).