301. а) В треугольнике АВС угол В - прямой. Найдите АВ, если tg A = \(\sqrt{19}/9\), AC = 10.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC (угол B = 90°):

По определению тангенса угла A: \( \operatorname{tg} A = \frac{BC}{AB} \).

По определению синуса угла A: \( \sin A = \frac{BC}{AC} \).

По определению косинуса угла A: \( \cos A = \frac{AB}{AC} \).

Найдём \( \cos A \) из \( \operatorname{tg} A \). Известно, что \( 1 + \operatorname{tg}^2 A = \frac{1}{\cos^2 A} \).

\( 1 + (\frac{\sqrt{19}}{9})^2 = 1 + \frac{19}{81} = \frac{81 + 19}{81} = \frac{100}{81} \).

\( \frac{1}{\cos^2 A} = \frac{100}{81} \).

\( \cos^2 A = \frac{81}{100} \).

Так как A — острый угол, \( \cos A = \sqrt{\frac{81}{100}} = \frac{9}{10} \).

Теперь найдём AB, используя \( \cos A = \frac{AB}{AC} \): \( \frac{9}{10} = \frac{AB}{10} \).

Отсюда \( AB = 9 \).

Ответ: AB = 9.