308. б) В треугольнике АВС внешние углы при вершинах А и С равны 150°, биссектриса ВК = 5, АС = 2√75. Найдите ВС.

Решение:

Внешние углы при вершинах A и C равны 150°, значит, внутренние углы A и C равны \( 180° - 150° = 30° \).

Сумма углов в треугольнике ABC: \( \angle A + \angle B + \angle C = 180° \).

\( 30° + \angle B + 30° = 180° \).

\( \angle B = 180° - 60° = 120° \).

Треугольник ABC равнобедренный, так как \( \angle A = \angle C \). Следовательно, боковые стороны равны: AB = BC.

Биссектриса ВК делит угол B пополам: \( \angle ABK = \angle CBK = 120°/2 = 60° \).

Рассмотрим треугольник ABK. Углы: \( \angle A = 30° \), \( \angle ABK = 60° \). Следовательно, \( \angle AKB = 180° - (30° + 60°) = 180° - 90° = 90° \).

Значит, биссектриса ВК является также высотой.

В прямоугольном треугольнике ABK:

\( \sin A = \frac{BK}{AB} \).

\( \sin 30° = \frac{5}{AB} \).

\( \frac{1}{2} = \frac{5}{AB} \).

\( AB = 5 \cdot 2 = 10 \).

Так как треугольник ABC равнобедренный, BC = AB.

Ответ: BC = 10.