31. Найти все решения уравнения \(\sin\frac{x}{2}=-\frac{\sqrt2}{2}\) на отрезке \([-2\pi;2\pi]\).

Положим \(t=\frac{x}{2}\). Тогда \(t\in[-\pi;\pi]\). Уравнение \(\sin t=-\frac{\sqrt2}{2}\) на этом отрезке имеет решения \(t=-\frac{\pi}{4}\) и \(t=-\frac{3\pi}{4}\). Умножаем на 2.

Ответ: \(x=-\frac{\pi}{2},\ -\frac{3\pi}{2}\).