39. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке К. Другая прямая пересекает окружность в точках В и С, причём АВ=6, АС=54. Найдите АК.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся свойством секущей и касательной, проведенных из одной точки к окружности. Согласно этому свойству, квадрат длины отрезка касательной от внешней точки до точки касания равен произведению отрезков секущей от внешней точки до точек ее пересечения с окружностью.

В данном случае, касательная — это отрезок АК, а секущая — отрезок АС, пересекающий окружность в точках В и С.

• По теореме о касательной и секущей: $$AK^2 = AB AC$$.
• Подставляем известные значения: $$AK^2 = 6 54$$.
• Вычисляем: $$AK^2 = 324$$.
• Находим АК, извлекая квадратный корень: $$AK = √{324} = 18$$.

Ответ: 18