40. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке К. Другая прямая пересекает окружность в точках В и С, причём АВ=5, АС=45. Найдите АK.

Решение:

Воспользуемся свойством касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности. Произведение отрезков секущей от внешней точки до точек пересечения с окружностью равно квадрату отрезка касательной от внешней точки до точки касания.

• По условию: $$AB = 5$$, $$AC = 45$$.
• Касательная — $$AK$$.
• По теореме: $$AK^2 = AB AC$$.
• Подставляем значения: $$AK^2 = 5 45$$.
• Вычисляем: $$AK^2 = 225$$.
• Находим $$AK$$: $$AK = √{225} = 15$$.

Ответ: 15