410. Является ли четырехугольник квадратом, если его диагонали: а) равны и взаимно перпендикулярны; б) взаимно перпендикулярны и имеют общую середину; в) равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину?

а) Нет. Например, диагонали равнобедренной, но не квадратной «воздушной змеи» могут быть равными и перпендикулярными, не делясь пополам; такой четырехугольник не обязан быть квадратом.

б) Нет. Если диагонали перпендикулярны и делятся пополам, четырехугольник является ромбом, но ромб не обязательно квадрат.

в) Да. Общая середина диагоналей означает, что четырехугольник — параллелограмм. Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником, а с перпендикулярными диагоналями — ромбом. Прямоугольник, являющийся ромбом, — квадрат.

Ответ: а) нет; б) нет; в) да.