6. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin ∠A = 4/5. АС = 9. Найдите АВ.

Дано:

• \[ \triangle ABC \]
• \[ \angle C = 90^{\circ} \]
• \[ \sin A = \frac{4}{5} \]
• \[ AC = 9 \]

Найти:

• \[ AB \]

Решение:

Мы знаем \[ \sin A = \frac{BC}{AB} \] и \[ \cos A = \frac{AC}{AB} \].

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \[ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \]

\[ (\frac{4}{5})^2 + \cos^2 A = 1 \]

\[ \frac{16}{25} + \cos^2 A = 1 \]

\[ \cos^2 A = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \]

\[ \cos A = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \] (так как угол A острый, косинус положителен).

Теперь, зная \[ \cos A = \frac{AC}{AB} \], найдем AB:

\[ \frac{3}{5} = \frac{9}{AB} \]

\[ AB = \frac{9 \times 5}{3} = 3 \times 5 = 15 \]

Ответ: AB = 15