75. \( x^{-2} \cdot 4^{-3} = \left(\frac{1}{4}\right)^{2} \)

Решение:

Сначала упростим правую часть: \( \left(\frac{1}{4}\right)^{2} = \frac{1^2}{4^2} = \frac{1}{16} \).

Мы знаем, что \( \frac{1}{16} = 16^{-1} \) и \( 16 = 4^2 \).

Следовательно, \( \frac{1}{16} = (4^2)^{-1} = 4^{-2} \).

Теперь исходное уравнение выглядит так:

\[ x^{-2} \cdot 4^{-3} = 4^{-2} \]

Чтобы найти \( x^{-2} \), разделим правую часть на \( 4^{-3} \).

\[ x^{-2} = \frac{4^{-2}}{4^{-3}} \]

Используем свойство степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

\[ x^{-2} = 4^{-2 - (-3)} = 4^{-2 + 3} = 4^{1} \]

Итак, \( x^{-2} = 4 \).

Мы ищем \( x \). Если \( x^{-2} = 4 \), то \( \frac{1}{x^2} = 4 \).

Отсюда \( x^2 = \frac{1}{4} \).

Извлекая квадратный корень, получаем:

\[ x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2} \]

Ответ: \( x = \pm\frac{1}{2} \)