987*. Дан ромб ABCD, диагонали которого равны 2a и 2b. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых AM² + DM² = BM² + CM².

Пусть O — точка пересечения диагоналей ромба. Выберем систему координат так, чтобы A(−a,0), C(a,0), B(0,b), D(0,−b), а M(x,y).

Тогда условие после раскрытия скобок принимает вид:

\[(x+a)^2+y^2+x^2+(y+b)^2=x^2+(y-b)^2+(x-a)^2+y^2.\]

После сокращения:

\[4ax+4by=0,\qquad ax+by=0.\]

Это уравнение прямой, проходящей через O и перпендикулярной вектору (a,b). В выбранных координатах эта прямая перпендикулярна отрезку, соединяющему середины диагоналей, и проходит через центр ромба.

Ответ: прямая ax+by=0, проходящая через центр ромба.