82. а) Дан куб АВСДА1В1С1D1. Найдите угол между прямой В1D и плоскостью АВВ1.

а) Рассмотрим куб ABCDA1B1C1D1. Угол между прямой B1D и плоскостью ABB1 - это угол между прямой B1D и ее проекцией на эту плоскость. Проекцией точки D на плоскость ABB1 является точка A, так как DA перпендикулярна плоскости ABB1. Значит, проекция прямой B1D на плоскость ABB1 - это прямая B1A. Таким образом, угол между прямой B1D и плоскостью ABB1 - это угол AB1D. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВ1В. АВ1=АВ√2. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВ1D. АD=АВ. Тогда тангенс угла АВ1D = АD/АВ1=АВ/АВ√2=1/√2=√2/2. Угол АВ1D = arctg(√2/2).

в кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны, все грани - квадраты, все углы между ребрами - прямые. Прямая B1D пересекает плоскость ABB1. Рассмотрим треугольник AB1D. Угол AB1D будет искомым углом. tg угла AB1D = AD/AB1. AB1 = a√2, где a - сторона куба. tg угла AB1D = a/a√2=1/√2. Угол AB1D = arctg(1/√2). Значит, угол между прямой B1D и плоскостью ABB1 равен arctg(1/√2).

Ответ зависит от того, что подразумевается под кубом. Если дан единичный куб, тогда можно вычислить точное значение угла, если нет - остается в виде arctg(1/√2).

Пусть сторона куба равна a. Тогда AB = a, BB1 = a, AD = a. Рассмотрим треугольник ABB1. Он прямоугольный, AB1 = √(AB^2 + BB1^2) = √(a^2 + a^2) = a√2.

Теперь рассмотрим треугольник AB1D. Он также прямоугольный. AD = a, AB1 = a√2. tg(угла DB1A) = AD / AB1 = a / (a√2) = 1 / √2 = √2 / 2. Следовательно, угол DB1A = arctg(√2 / 2)

Угол между прямой B1D и плоскостью ABB1 равен arctg(√2 / 2)

         B1
        /|
       / |
      /  |
     /   |
    A----B

Ответ: arctg(√2 / 2)