б) Дан правильный тетраэдр ABCD. Точка М – середина ребра АВ. Найдите угол между прямой DM и плоскостью ADC.

Пусть ABCD - правильный тетраэдр, M - середина ребра AB. Нужно найти угол между прямой DM и плоскостью ADC.

Пусть сторона тетраэдра равна a. В правильном тетраэдре все грани - равносторонние треугольники. Высота равностороннего треугольника равна (a√3)/2.

Пусть H - проекция точки M на плоскость ADC. Тогда угол между DM и ADC это угол MDH.

DM = (a√3)/2 (высота грани ABD). Пусть O - середина AC. Тогда DO перпендикулярно AC. Угол DOC прямой. DH - высота в треугольнике ADC, DH = a√3/2. Обозначим искомый угол φ. sin φ = MH / DM. MH - расстояние от M до плоскости ADC.

Объем тетраэдра V = (a^3 √2)/12. Площадь грани ADC S = (a^2 √3)/4.

Найдем расстояние от точки M до плоскости ADC. V = 1/3 * S * h. h = (3V)/S h = (3 (a^3 √2)/12) / ((a^2 √3)/4) = (a√6)/6 sin φ = ((a√6)/6) / ((a√3)/2) = √2/3 φ = arcsin(√2/3)

Ответ: arcsin(√2/3)