в) В единичном кубе ABCDA1B1C1D₁ найдите синус угла между прямой АС1 и плоскостью DCC1.

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдем синус угла между прямой AC1 и плоскостью DCC1.

Пусть сторона куба равна a. Тогда AC = a√2.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACC1. AC1 = √(AC^2 + CC1^2) = √(2a^2 + a^2) = a√3.

Угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и ее проекцией на плоскость. Проекцией AC1 на плоскость DCC1 является прямая C1D.

Синус угла между прямой AC1 и плоскостью DCC1 равен синусу угла между AC1 и C1D. Рассмотрим треугольник AC1D. Синус угла AC1D равен AD / AC1 = a/a√3=1/√3 = √3/3.

        A1----------B1
       /|          /|
      / |         / |
     /  |        /  |
    D1--|-------C1  |
    |   A|       |  B|
    |  /         | /
    | /          |/
    |/           |/
    D-----------C/

Ответ: √3/3