б) Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Все рёбра пирамиды равны, К – середина бокового ребра SC. Найдите угол между прямой АК и плоскостью BSC.

Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с вершиной S, все ребра равны, K - середина бокового ребра SC. Найти угол между прямой AK и плоскостью BSC.

Пусть ребро пирамиды равно a. SC = a, CK = a/2

1) Найдем объем пирамиды SABC. V = 1/3 * S(ABC) * h S(ABC) = (a^2 √3)/4 h = SO = (a√2)/2 V = 1/3 * (a^2 √3)/4 * (a√2)/2 = (a^3 √6)/24

2) Найдем площадь треугольника BSC. S(BSC) = (a^2 √3)/4

3) Найдем расстояние от точки A до плоскости BSC h1 = 3V/S(BSC) =3 * ((a^3 √6)/24) / ( (a^2 √3)/4 ) = (a√2)/2 sin угла AKC = h1/AK

4) Найдем AK в треугольнике ACK. AC=а√2. KC=a/2. угол ACK=60 AK^2 = AC^2 + CK^2 - 2*AC*CK cos 60 AK^2=(а√2)^2+(a/2)^2-2*а√2*a/2*cos60=2a^2+a^2/4-√2a^2/2 = 9/4 a^2-√2a^2/2 AK = √(9/4 a^2-√2a^2/2)

5) sin угла между прямой АК и плоскостью BSC = h1/AK = ((a√2)/2) / (√(9/4 a^2-√2a^2/2) ) = ((√2)/2) / (√(9/4-√2/2) )

Ответ: ((√2)/2) / (√(9/4-√2/2) )