83. а) В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямой DB1 и плоскостью СС1D1.

Пусть дан единичный куб ABCDA1B1C1D1. Найдем угол между прямой DB1 и плоскостью CC1D1.

Проведем диагональ DC1 в грани DD1C1C. Угол DC1B1 прямой, так как DD1C1C - квадрат.

DС1 является проекцией DB1 на плоскость DD1C1C. Тогда угол B1DC1 искомый. Тангенс угла DC1B1 = B1C1/DС1. DС1 = √2. B1C1=1. tg DC1B1 = 1/√2=√2/2. Значит угол DC1B1 = arctg (√2/2).

       D1---------C1
      /|          /|
     / |         / |
    /  |        /  |
   A1--|-------B1  |
   |   |        |  |
   |   |        |  |
   |   |        |  |
   A---|--------B  |
   |  /         | /
   | /          |/
   |/           |/
   D-----------C/

Ответ: arctg (√2/2)