84. а) Дан правильный тетраэдр ABCD. Найдите угол между прямой CD и плоскостью ABD.

a) Дан правильный тетраэдр ABCD. Необходимо найти угол между прямой CD и плоскостью ABD.

В правильном тетраэдре все ребра равны, а все грани - правильные треугольники. Пусть О - центр треугольника ABD. Тогда CO перпендикулярна плоскости ABD. Следовательно, угол между CD и плоскостью ABD равен углу между CD и OD.

Рассмотрим треугольник CDO. CD = a, где a - сторона тетраэдра. OD = (a√3)/3. Тогда синус угла CDO = CO/CD = CO/a И CO=√(CD^2 - OD^2) =√(a^2 - a^2/3) =√(2/3 a^2) = a √(2/3). sin CDO = a √(2/3) / a= √(2/3) =√(6)/3 arcsin √(6)/3

      A
     / \
    /   \
   B-----C
  /|    /|
 / |   / |
D--E---F--G

Ответ: arcsin √(6)/3