в) В единичном кубе АВСDA1B1C1D1 найдите угол между прямой АА1 и плоскостью ДАВ1.

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 нужно найти угол между прямой AA1 и плоскостью DAB1.

Пусть ребро куба равно a = 1.

Прямая AA1 перпендикулярна плоскости ABCD. B1D лежит в плоскости DAB1.

Угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и ее проекцией на плоскость. Проекцией AA1 на плоскость DAB1 является прямая OA1, где O - точка пересечения диагоналей квадрата ABCD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AA1O: tg( угла AA1O ) = AO / AA1. AO = a√2 / 2 = √2 / 2 AA1 = a = 1 tg( угла AA1O) = (√2 / 2 ) / 1 = √2 / 2 Угол AA1O = arctg(√2 / 2)

Другое решение:

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 (ребро = 1) найдем угол между прямой AA1 и плоскостью DAB1.

Обозначим искомый угол как φ. Угол между прямой и плоскостью это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Найдем вектор AA1 = (0,0,1).

Найдем нормаль к плоскости DAB1. Векторное произведение векторов DA = (1,0,0) и DB1 = (1,1,1) даст нормаль к плоскости DAB1.

n = DA x DB1 = (0,-1,1).

cos( угла между AA1 и n ) = | (AA1, n) | / ( |AA1| * |n| ) = | (0,0,1) * (0,-1,1) | / ( 1 * √2 ) = 1 / √2 = √2 / 2.

Значит угол между вектором AA1 и нормалью к плоскости равен π/4.

Тогда искомый угол φ = π/2 - π/4 = π/4 = 45 градусов.

        A1----------B1
       /|          /|
      / |         / |
     /  |        /  |
    D1--|-------C1  |
    |   A|       |  B|
    |  /         | /
    | /          |/
    |/           |/
    D-----------C/

Ответ: 45 градусов