- 5. limx→-2 ³√x-6+2/x+2

$$\lim_{x \to -2} \frac{\sqrt[3]{x - 6} + 2}{x + 2}$$

Подставим x = -2:

$$\frac{\sqrt[3]{-2 - 6} + 2}{-2 + 2} = \frac{\sqrt[3]{-8} + 2}{0} = \frac{-2 + 2}{0} = \frac{0}{0}$$

Избавимся от неопределённости, умножив на сопряжённое выражение:

Пусть $$a = \sqrt[3]{x-6}$$, тогда $$\sqrt[3]{x-6} + 2 = a + 2$$

Сопряжённое выражение: $$a^2 - 2a + 4 = (\sqrt[3]{x-6})^2 - 2\sqrt[3]{x-6} + 4$$

Умножим числитель и знаменатель на это выражение:

$$\lim_{x \to -2} \frac{\sqrt[3]{x - 6} + 2}{x + 2} \cdot \frac{(\sqrt[3]{x-6})^2 - 2\sqrt[3]{x-6} + 4}{(\sqrt[3]{x-6})^2 - 2\sqrt[3]{x-6} + 4} = \lim_{x \to -2} \frac{(\sqrt[3]{x-6})^3 + 2^3}{(x + 2)((\sqrt[3]{x-6})^2 - 2\sqrt[3]{x-6} + 4)}$$

$$\lim_{x \to -2} \frac{x - 6 + 8}{(x + 2)((\sqrt[3]{x-6})^2 - 2\sqrt[3]{x-6} + 4)} = \lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{(x + 2)((\sqrt[3]{x-6})^2 - 2\sqrt[3]{x-6} + 4)}$$

Сократим (x + 2):

$$\lim_{x \to -2} \frac{1}{(\sqrt[3]{x-6})^2 - 2\sqrt[3]{x-6} + 4} = \frac{1}{(\sqrt[3]{-2-6})^2 - 2\sqrt[3]{-2-6} + 4} = \frac{1}{(-2)^2 - 2(-2) + 4} = \frac{1}{4 + 4 + 4} = \frac{1}{12}$$

Ответ: 1/12