6. limx→0 x/√1+3x-1

$$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{1 + 3x} - 1}$$

Чтобы избавиться от неопределенности, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение:

$$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{1 + 3x} - 1} \cdot \frac{\sqrt{1 + 3x} + 1}{\sqrt{1 + 3x} + 1} = \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{1 + 3x} + 1)}{(\sqrt{1 + 3x})^2 - 1^2}$$

$$\lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{1 + 3x} + 1)}{1 + 3x - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{1 + 3x} + 1)}{3x}$$

Сократим x:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 3x} + 1}{3} = \frac{\sqrt{1 + 3(0)} + 1}{3} = \frac{\sqrt{1} + 1}{3} = \frac{1 + 1}{3} = \frac{2}{3}$$

Ответ: 2/3