V10. limx→∞ (1 + 3/2x)^5x

$$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{3}{2x})^{5x}$$

Представим в виде:

$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{2x}\right)^{5x} = \lim_{x \to \infty} \left[\left(1 + \frac{3}{2x}\right)^{\frac{2x}{3}}\right]^{\frac{3}{2x} \cdot 5x} = \lim_{x \to \infty} \left[\left(1 + \frac{3}{2x}\right)^{\frac{2x}{3}}\right]^{\frac{15}{2}}$$

Т.к. $$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$$

$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{2x}\right)^{\frac{2x}{3}} = e$$

Тогда:

$$\lim_{x \to \infty} \left[\left(1 + \frac{3}{2x}\right)^{\frac{2x}{3}}\right]^{\frac{15}{2}} = e^{\frac{15}{2}}$$

Ответ: e^(15/2)