V11. limx→∞ (x-3/x+4)^3x+1

$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x + 4}\right)^{3x + 1}$$

Преобразуем выражение:

$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 4 - 7}{x + 4}\right)^{3x + 1} = \lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{7}{x + 4}\right)^{3x + 1}$$

$$\lim_{x \to \infty} \left[\left(1 - \frac{7}{x + 4}\right)^{\frac{x + 4}{-7}}\right]^{\frac{-7}{x + 4}(3x + 1)} = \lim_{x \to \infty} \left[\left(1 - \frac{7}{x + 4}\right)^{\frac{x + 4}{-7}}\right]^{\frac{-21x - 7}{x + 4}}$$

Т.к. $$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a$$

$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{7}{x + 4}\right)^{\frac{x + 4}{-7}} = e$$

$$\lim_{x \to \infty} \frac{-21x - 7}{x + 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{-21 - \frac{7}{x}}{1 + \frac{4}{x}} = -21$$

Тогда:

$$\lim_{x \to \infty} \left[\left(1 - \frac{7}{x + 4}\right)^{\frac{x + 4}{-7}}\right]^{\frac{-21x - 7}{x + 4}} = e^{-21}$$

Ответ: e^(-21)