4. limx→1 x³+x²-5x+3/x³-x²-x+1

Для решения данного предела, подставим x = 1 в выражение:

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 + x^2 - 5x + 3}{x^3 - x^2 - x + 1} = \frac{1^3 + 1^2 - 5(1) + 3}{1^3 - 1^2 - 1 + 1} = \frac{1 + 1 - 5 + 3}{1 - 1 - 1 + 1} = \frac{0}{0}$$

Так как получили неопределенность вида 0/0, нужно разложить числитель и знаменатель на множители и сократить общий множитель.

Числитель: $$x^3 + x^2 - 5x + 3$$

Так как x = 1 является корнем, то можно разделить на (x - 1):

$$\frac{x^3 + x^2 - 5x + 3}{x - 1} = x^2 + 2x - 3$$

$$x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)$$

Знаменатель: $$x^3 - x^2 - x + 1$$

$$x^3 - x^2 - x + 1 = x^2(x - 1) - (x - 1) = (x - 1)(x^2 - 1) = (x - 1)(x - 1)(x + 1) = (x - 1)^2(x + 1)$$

Тогда:

$$\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x - 1)(x + 3)}{(x - 1)(x - 1)(x + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{(x + 3)}{(x + 1)} = \frac{(1 + 3)}{(1 + 1)} = \frac{4}{2} = 2$$

Ответ: 2