13. limx→0(1 + 2x)3/x

Вычислим предел:

$$lim_{x \to 0} (1 + 2x)^{\frac{3}{x}}$$ Преобразуем выражение, чтобы использовать второй замечательный предел:

$$lim_{x \to 0} (1 + 2x)^{\frac{3}{x}} = lim_{x \to 0} ((1 + 2x)^{\frac{1}{2x}})^{2x \cdot \frac{3}{x}} = lim_{x \to 0} ((1 + 2x)^{\frac{1}{2x}})^6$$ Известно, что

$$lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$$

Тогда предел равен:

$$e^6$$ Ответ: e^6