16). limx→0 X √1+3x-1

16) Для нахождения предела функции $$ \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{1+3x}-1} $$ умножим числитель и знаменатель на $$\sqrt{1+3x}+1$$:

$$\lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{1+3x}+1)}{(\sqrt{1+3x}-1)(\sqrt{1+3x}+1)} = \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{1+3x}+1)}{(1+3x)-1} = \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{1+3x}+1)}{3x}$$

Сократим $$x$$:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+3x}+1}{3}$$

Подставим $$x=0$$:

$$\frac{\sqrt{1+3(0)}+1}{3} = \frac{\sqrt{1}+1}{3} = \frac{1+1}{3} = \frac{2}{3}$$

Ответ: $$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{1+3x}-1} = \frac{2}{3}$$